Дифференциальные уравнения

Уравнения, которые содержат аргумент, функцию этого аргумента и производные этой функции до некоторого порядка включительно, называют дифференциальными, а наивысший порядок производной, входящей в такое уравнение, - порядком этого уравнения.

Решения дифференциальных уравнений.

Решением дифференциального уравнения называют любую функцию, при подстановке которой в это уравнение получается тождество. График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой этого уравнения.
Простейшими являются дифференциальные уравнения вида Чтобы решить их, надо найти функцию у по её производной f(x): Если F - одна из первообразных для f, то это равенство записывается так: Функцию y=j(x,C), где С - произвольная постоянная, называют общим решением дифференциального уравнения y'=f(x,y) в области W, если
- для любого С она является решением этого уравнения, т.е. j'(x,C)=f(x,j(x,C));
- для любой точки М₀(х₀,у₀) из области W существует единственное решение С₀, при котором линия у=j(x,C₀) проходит через точку М₀, т.е. у₀=j(x₀,C₀).
Решение дифференциального уравнения, получаемое из общего решения путем придания определенного значения произвольной постоянной, называют частным решением этого уравнения.
Наряду с частными решениями дифференциальное уравнение может иметь решения, не получаемые из общего ни при каком значении произвольной постоянной. Такие решения называют особыми. Например, общее решение дифференциального уравнения (y')²+y²=1 имеет вид: y=sin(x+C) - семейство синусойд. Кроме того, это уравнение имеет два особых решния: у=-1 и у=1.
Рассмотрим теперь дифференциальные уравнения второго порядка. Простойшими из них являются уравнения вида:

y''=f(x).

Чтобы решить такое уравнение, введем новую функцию z=y'. Тогда имеем z'=(y')'=y'', и уравнение примет вид: z'=f(x). Из него находим: где F - одна из первообразных функции f, C₁ - произвольная постоянная. Но z=y', и потому имеем: y'=F(x)+C₁. Значит,
где F - одна из первообразных функции F, а С₂ - вторая поизвольная постоянная. В решение уравнения первого порядка входит одна произвольная постоянная, а в решение уравненя второго порядка - две произвольные постоянные. Это верно и для уравнений более общего вида: общее решение дифференциального уравнения n-го порядка зависит от n произвольных постоянных.

Уравнения с разделяющимися переменными.

К операции интегрирования сводится и решение дифференциального уравнения первого порядка вида (1):

y'=j(x)y(у)

в левой части - производная искомой функции, в правой - произведение двух функций, из которых одна зависит от х, а другая - от у.
Если при у=у₀ функция y обращается в нуль, т.е. y(y₀)=0, то функция у=у₀ является одним из решений данного уравнения. В самом деле, подставляя в уравнение у₀ вместо у, получаем равенство (у₀)'=j(x)y(y₀).
Оно тождественно выполняется при любом значении х, т.е. (у₀)'=0 (производная постоянной равна 0), а y(у₀)=0 по условию. В области, где y(у) не равно нулю, данное уравнение (1) равносильно уравнению y'/y(y) = j(x). Умножим обе части этого уравнения на dx и учтем, что y'dx=dy. Получаем уравнение (2) в котором переменные х и у разделены - выражение в левой части зависит от у, а в правой - от х. Поэтому уравнение (1) называют уравнением с разделяющимися переменными.
Перейдем к решению уравнения (2). Если F - первообразная функции j, а Y - первообразная функции 1/y, то
dF(x)=F'(x)dx=j(x)dx, dY(y)=Y'(y)dy=(1/y(y))dy=dy/y(y).
Значит, уравнение (2) можно записать так:

dY(y)=dF(x).

Здесь слева и справа стоят дифференициалы функций, зависящих от х (ведь у является некоторой функцией от х). Эти дифференциалы равны друг другу лишь в случае, когда сами функции отличаются лишь на постоянное слагаемое, т.е. когда Y(у)=F(x)+С. Но это равенство можно записать так: