Главная Онлайн-расчеты Научный калькулятор | |
Трапеция![]() Определение 6. Основаниями трапеции называют её параллельные стороны. Определение 7. Боковыми сторонами трапеции называют её непараллельные стороны. Параллельные стороны не могут быть равными, т.к. в противном случае мы имели бы параллелограмм. Поэтому одну из них мы назовем большим, вторую - малым основанием трапеции. Высотой трапеции можно назвать любой отрезок перпендикуляра, проведенного из вершин на соответственно противоположную сторону (для каждой вершины есть две противоположные стороны), заключенный между взятыми вершиной и противоположной стороной. Но можно выделить "особый вид" высот. Определение 8. Высотой основания трапеции называют отрезок прямой, перпендикулярной основаниям, заключенный между основаниями. ![]() Доказательство. Пусть дана трапеция АВСD и средняя линия КМ. Через точки В и М проведем прямую. Продолжим сторону AD через точку D до пересечения с ВМ. Треугольники ВСм и МРD равны по стороне и двум углам (СМ=МD, ∠ВСМ=∠МDР - накрестлежащие, ∠ВМС=∠DМР - вертикальные), поэтому ВМ=МР или точка М - середина ВР. КМ является средней линией в треугольнике АВР. По свойству средней линии треугольника КМ параллельна АР и в частности АD и равна половине АР: ![]() ![]() Напомню, что фигуры называются равновеликими, если у них одинаковая площадь. Треугольники АВD и АСD равновелики: у них равные высоты (обозначенные желтым) и общее основание. Эти треугольники имеют общую часть АОD. Их площадь можно разложить так: ![]() Теорема 9. В трапеции середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой. Доказательство. ![]() Определение 9. (рис 1) Остроугольной трапецией называется трапеция, у которой углы, прилегающие к большему основанию острые. Определение 10. (рис 2) Тупоугольной трапецией называется трапеция, у которой один из углов, прилегающих к большему основанию тупой. Определение 11. (рис 4) Прямоугольной называется трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям. Определение 12. (рис 3) Равнобедренной (равнобокой, равнобочной) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. ![]() Теорема 10. Углы, прилежащие к каждому из оснований равнобокой трапеции, равны. Доказательство. Докажем, например, равенство углов А и D при большем основании AD равнобокой трапеции АВСD. Для этой цели проведем через точку С прямую параллельную боковой стороне АВ. Она пересечет большое основание в точке М. Четырехугольник АВСМ являеся параллелограммом, т.к. по построению имеет две пары параллельных сторон. Следовательно, отрезок СМ секущей прямой, заключенный внутри трапеции равен её боковой стороне: СМ=АВ. Отсюда ясно, что СМ=СD, треугольник СМD - равнобедренный, ∠СМD=∠СDM, и, значит, ∠А=∠D. Углы, прилежащие к меньшему основанию, также равны, т.к. являются для найденных внутренними односторонним и имеют в сумме два прямых. ![]() Доказательство. Рассмотрим треугольники АВD и ACD. Она равны по двум сторонам и углу между ними (АВ=СD, AD - общая, углы А и D равны по теореме 10). Поэтому АС=BD. Теорема 12. Если продолжить стороны равнобочной трапеции до их пересечения, то вместе с большим основанием трапеции они образуют равнобедренный треугольник. Доказательство. По теореме 10 углы А и D равны. Поэтому треугольник АDК является равнобедренным по признаку: если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. Доказательство этого признака вы можете найти в теме Треугольник. ![]() Равнобокая трапеция фигура симметричная. Определение 13. Осью сисмметрии равнобокой трапеции называют прямую, проходящую через середины её оснований. Теорема 14. Ось сисмметрии равнобокой трапеции перпендикулярна её основаниям. ![]() Признаки, выделяющие равнобокую трапецию среди всех трапеций: Теорема 15. Если углы, прилежищие к одному из оснований трапеции, равны, то трапеция равнобокая. Теорема 16. Если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобокая. Теорема 17. Если продолженные до пересечения боковые стороны трапеции образуют вместе и её большим основанием равнобедренный треугольник, то трапеция равнобокая. Теорема 18. Если трапецию можно вписать в окружность, то она равнобокая. Признак прямоугольной трапеции: Теорема 19. Всякий четырехугольник, у которого только два угла при смежных вершинах прямые, является прямоугольной трапецией (очевидно, что две стороны параллельны, т.к. односторонние равны. в случае, когда три прямых угла это прямоугольник) Теорема 20. Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине высоты основания. ![]() Теорема 21. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты оснований. ![]() Доказательство: Пусть ABCD - данная трапеция, а AB и CD - её основания. Пусть также AH - высота, опущенная из точки A на прямую CD. Тогда SABCD = SACD + SABC. Но SACD = 1/2AH·CD, а SABC = 1/2AH·AB. Следовательно, SABCD = 1/2AH·(AB + CD). Что и требовалось доказать. ![]() |
|