Неравенства. Основные свойства неравенств

Два выражения, числовые или буквенные, соединенные знаком "больше" (>) или знаком "меньше" (<), образуют неравенство (числовое или буквенное).
Всякое верное числовое неравенство, а также всякое буквенное неравенство, справедливое при всех числовых действительных значениях входящих в него букв, называется тождественным.

Пример 1. Числовое неравенство 2•3-5 < 8-5 (оно верно!) есть тождественное неравенство.
Пример 2. Буквенное неравенство a² > -2 тождественно, так как при всяком числовом (действительном) значении а величина a² положительна или равна нулю и, значит, всегда больше, чем -2.

Два выражения соединяются также знаками ≤ ("меньше или равно") и ≥ ("больше или равно"). Так, запись 2a ≥ 3b означает, что величина 2a либо больше величины 3b, либо равна ей. Такие записи также именуются неравенствами.

Буквенные величины, входящие в неравенство, могут подразделяться на известные и неизвестные. Какие из букв представляют известные, а какие неизвестные величины, должно быть отдельно указано. Обычно для этого неизвестные величины обозначаются последними буквами латинского алфавита х, у, z, u, v и т. д.

Решить неравенство - значит указать границы, в которых должны заключаться (действительные) значения неизвестных величин, чтобы неравенство было верным.
Если дано несколько неравенств, то решить систему этих неравенств - значит указать границы, в которых должны заключаться значения неизвестных величин, чтобы все данные неравенства были верными.

Пример 3. Решить неравенство a² < 4. Это неравенство верно, если |x| < 2, т. е. если x заключено в границах между -2 и +2.
Решение имеет вид: -2 < x < 2.
Пример 4. Решить неравенство 2x > 8. Решение имеет вид: x > 4. Здесь x ограничено только с одной стороны.
Пример 5. Неравенство (x - 2)(x - 3) > 0 верно, если x > 3 (тогда оба сомножителя (x - 2), (x - 3) положительны), а также при х < 2 (тогда оба сомножителя отрицательны), и неверно, когда x заключено в границах между 2 и 3 (а также при x = 2 и при x = 3). Поэтому решение представляется двумя неравенствами: x > 3; x < 2.
Пример 6. Неравенство x² < -2 не имеет решений.

Основные свойства неравенств

1. Если a > b, то b < a; и наоборот, если a < b то b > a.
Пример. Если 5x - 1 > 2x + 1, то 2x + 1 < 5x - 1.

2. Если a > b и b > c, то a > c. Точно так же, если a < b и b < c, то a < c.
Пример. Из неравенств x > 2y, 2y > 10 следует, что x > 10.

3. Если a > b, то a + c > b + c (и a - c > b - c). Если же a < b, то a + c < b + c (и a - c < b - c), т. е. к обеим частям неравенства можно прибавить (или из них вычесть) одну и ту же величину.
Пример 1. Дано неравенство x + 8 > 3. Вычитая из обеих частей неравенства число 8, находим x > -5.
Пример 2. Дано неравенство x - 6 < -2. Прибавляя к обеим частям 6, находим x < 4.

4. Если a > b и c > d, то a + c > b + d; точно так же, если a < b и c < d, то a + c < b + d, т. е. два неравенства одинакового смысла можно почленно складывать. Это справедливо и для любого числа неравенств, например, если a₁ > b₁, a₂ > b₂, a₃ > b₃, то a₁ + a₂ + a₃ > b₁ + b₂ + b₃.
Пример 1. Неравенства -8 > -10 и 5 > 2 верны. Складывая их почленно, находим верное неравенство -3 > -8.
Пример 2. Дана система неравенств 1/2x + 1/2y < 18; 1/2x - 1/2y < 4. Складывая их почленно, находим x < 22.

Замечание. Два неравенства одинакового смысла нельзя почленно вычитать друг из друга, так как результат может быть верным, но может быть и неверным. Например, если из неравенства 10 > 8 почленно вычесть неравенство 2 > 1, то получим верное неравенство 8 > 7, но если из того же неравенства 10 > 8 почленно вычесть неравенство 6 > 1, то получим нелепость.

5. Если a > b и c < d, то a - c > b - d; если a < b и c > d, то a - c < b - d, т. е. из одного неравенства, можно почленно вычесть другое неравенство противоположного смысла, оставляя знак того неравенства, из которого вычиталось другое.

Пример 1. Неравенства 12 < 20 и 15 > 7 верны. Вычитая почленно второе из первого и оставляя знак первого, получаем верное неравенство - 3 < 13. Вычитая почленно первое из второго и оставляя знак второго, находим верное неравенство 3 > -13.
Пример 2. Дана система неравенств 1/2x + 1/2y < 18; 1/2x - 1/2y > 8. Вычитая из первого неравенства второе, находим у < 10.

6. Если a > b и m - положительное число, то ma > mb и a/m > b/m, т.е. обе части неравенства можно разделить или умножить на одно и то же положительное число (знак неравенства остается тем же).
Если же a > b и n - отрицательное число, то na < nb и a/n < b/n, т.е. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, но при этом знак неравенства нужно переменить на противоположный.

Пример 1. Разделив обе части верного неравенства 25 > 20 на 5, получим верное неравенство 5 > 4. Если же мы делим обе части неравенства 25 > 20 на -5, то нужно переменить знак > на <, и тогда получим верное неравенство - 5 > -4.
Пример 2. Из неравенства 2x < 12 следует, что x < 6.
Пример 3. Из неравенства -1/3x > 4 следует, что x < -12.
Пример 4. Дано неравенство x/k > y/l; из него следует, что lx > ky, если знаки чисел l и k одинаковы, и что lx < ky, если знаки чисел l и k противоположны.