Главная       Онлайн-расчеты       Научный калькулятор

Углы

Определение 9. Угол называется вписанным в окружность, если его вершина принадлежит окружности, а стороны пересекают окружность(на рисунке 4 видим вписанный угол ADB).
Определение 10. Дугой называют часть окружности. Например дуга АВ на рисунке 4. Две точки на окружности задают две дуги, поэтому для точности добавляется третья точка между данными, например, говоря о дуге АС, мы можем иметь ввиду как большую из них так и меньшую, но стоит сказать "дуга ADC", и все становится понятно.
вписанный в окружность угол Определение 11. Центральным называется такой угол, вершина которого есть центр окружности (на рис4 угол АОВ). Этот угол также характеризуется дугой, на которую он операется.
Теорема 2 Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.
На рис4 рассмотрим угол АСВ и дугу АВ, на которую он опирается. Эта дуга характеризуется углом АОВ, как было сказано ранее. Т.е. мы должны доказать, что 2∠АСВ = ∠АОВ
Рассмотрим треугольник АВС на рис4. Он вписан в данную окружность. В силу равенства радиусов треугольники АОС и ВОС равнобедренные, поэтому ∠АСО=∠САО и ∠ВСО=∠СВО, поэтому ∠С=∠АСО+∠ВСО=∠САО+∠СВО. В треугольнике АВС запишем сумму углов: ∠С+∠В+∠А=180о разложим: ∠C+∠CАО+∠СВО+∠ОАВ+∠ОВА=2∠С+∠ОАВ+∠ОВА=180о (1).
опирающийся на диаметр Теперь запишем сумму углов треугольнике АОВ: ∠АОВ+∠ОАВ+∠ОВА=180о (2), приравняем уравнения 1 и 2: 2∠С+∠ОАВ+∠ОВА=∠АОВ+∠ОАВ+∠ОВА, 2∠С=∠АОВ, ч.т.д. Так можно доказать для любого угла, например АDВ. Надо отметить случай, когда угол опирается на диаметр или дугу длиной в пол окружности, он будет равен 90° (180°/2). Отсюда:

Теорема 2.1. Если вписанный в окружность угол прямой (равен 90 градусов), то он опирается на диаметр. И обратно
Теорема 2.2. Если вписанный в окружность угол опирается на диаметр, то он прямой (равен 90 градусов).
Из теоремы 2 следует, что вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны, т.к. равны половине одного и того же центрального угла. ∠ADB=∠АСВ=1/2∠АОВ
Теорема 3 Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны.

углы Теорема 4. Величина угла с вершиной внутри круга равна полусумме угловых величин дуг, заключенных между его сторонами и их продолжениями.
Теорема 5. Величина угла, образованного двумя секущими с вершиной вне круга, стороны которого пересекают этот круг, равна полуразности угловых величин большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами.
Доказательство теоремы 4:
Рассмотрим угол АМВ на рис6. Заметим, что α равен половине дуги AB, β - половине дуги KP. Зная теорему о внешнем угле треугольника: внешний угол треугольника равен сумме двух анутренних, с ним не смежных. Поэтому ∠АМВ=α+β=1/2(AB+KP), где АВ и КР - дуги. Мы доказали теорему 4. Теперь докажем теорему 5. Для этого рассмотрим угол АМВ на рис7, образованный двумя секущими МА и МВ. Так как α равен половине дуги KP, β - половине дуги AB, то по свойству внешнего угла треугольника получаем ∠АМВ=β-α=1/2(AB-KP)

пересечение хорд Теорема 6. При пересечении хорды делятся на отрезки, произведения которых равны.
Проведем хорды АС и ВD. Вписанные углы САВ и CDB опираются на дугу СВ, следовательно, ∠САВ=∠CDB. Аналогично ∠АСD=∠ABD. Таким образом, треугольнки АСК и DBК подобны (по двум углам) и КA/КD=КC/КB. Отсюда получаем КA * КB=КC * КD