Задача №107

Сторона основания правильной трехугольной пирамиды равна 3 см, а каждая боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов. Найти объем пирамиды и площадь поверхности.

Определим положение линейного угла между бок гранью и основанием. Для этого из точки О опустим перпендикуляр на ВС (точку пересечения обозначим за М). Теперь соединяем точки D и М. DМ перпендикулярна ВС (по теореме о трех перпендикулярах).
Значит угол DМО – линейный угол двугранного угла между гранями DВС и АВС.
Надо заметить, что ОМ является частью отрезка АМ (т.к. тругольник АВС правильный). Также АМ является как высотой, так и медианой.
Из прямоугольного треугольника АМС определим сторону АМ по теореме Пифагора, а затем ОМ как третью часть (свойство медиан треугольника) от АМ:

Теперь из прямоугольного треугольника МОD найдем OD и DМ используя тригонометрические функции: