Задача №126

Около шара описан усеченный конус, площадь осевого сечения которого S, а острый угол сечения альфа. Найти объём шара.

Рассмотрим осевое сечение:
Осевым сечением конуса является равнобокая трапеция. Обозначим её высоту за h. Из прямоугольного треугольника АВК АВ=h/sinα.
Теорема. Если в трапецию можно вписать окружность, то сумма длин её боковых сторон равна сумме длин оснований.
Т.е. ВС+AD=AB+CD=2AB (т.к. трапеция равнобокая)
ВС+AD=2АВ=2h/sinα.
Запишем формулу площади трапеции: S=1/2(a+b)h=h²/sinα, откуда
h²=Ssinα
Заметим, что высота равна диаметру вписанной окружности: