Задача №160

В трапеции ABCD AD=16 BC=9. На продолжение стороны BC взята точка M так что CM=3,2. В каком соотношение прямая AM делит площадь ABCD?
Обозначим точку пересечения АМ и СD за О. Обозначим высоту трапеции (расстояние между параллельными прямыми ВС и AD) за h. Через точку О проведем высоту, а части, на которые она её разбывает, обозначим за а и b, как показано на рисунке.
Треугольники АОВ и СОМ подобны по двум углам (∠АОВ=∠СОМ - вертикальные; ∠МСО=∠ODA - внутренние накрест-лежащие), поэтому:
a:b=CM:AD
a:b=3,2:16=0,2
a=0,2b
h=a+b=1,2b
b=5/6 * h
S_AOD=1/2 * b * AD=8 * 5/6 * h=20/3 * h
S_ABCD=1/2(AD+BC) * h=25/2 * h
S_ABCO=S_ABCD-S_AOD
S_ABCO=25/2 * h-20/3 * h=35/6 * h
S_ABCO:S_AOD=35/6 * h:20/3 * h=7:8