Задача №163

Через сторону нижнего основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, пересекающая боковые грани по отрезкам,угол между которыми α. Найдите угол наклона этой плоскости к основанию призмы.
Прямоугольные треугольники АМВ и СМВ равны по двум катетам (МВ - общая, АВ=ВС - стороны правильного треугольника АВС). Поэтому АМ=СМ, т.е. треугольник АМС равнобедренный. По теореме 2:
∠МАС=∠МСА=(180°-α)/2=90°-α/2
Из точки М опустим перпендикуляр МК на АС. Соединим К и В. ВК перпендикулярна АС по теореме о трех перпендикулярах. Угол МКВ - искомый.
Применим формулу связи косинусов:
cos∠МАС=cos∠МАВ * cos∠ВАС
cos∠(90°-α/2)=cos∠МАВ * cos60°
cos∠МАВ=2sinα/2

Применим формулу связи синусов:
sin∠МАВ=sin∠МАC * sin∠MKB