Задача №165

Найдите высоту правильной шестиугольной призмы, если сторона её основания равна а, а меньшая из диагоналей призмы равна b.
Сначала найдем меньшую диагональ. Возьмем диагональ АС₁. Она меньшая. Для доказательства этого сравним прямоугольные треугольники АСС₁ и АDD₁. Катеты СС₁ и DD₁ у них равны, а вот AD>АС, поэтому и гипотенуза AD₁ больше, чем АС₁.
Рассмотрим треугольник АВС. Он равнобедренный (АВ=ВС по условию). Опустим перпендикуляр ВК на АС. По свойству равнобедренного треугольника ВК является также и медианой, и биссектрисой. Поэтому АК=КС. Каждый из углов правильного шестиугольника равен 120 градусов, значит, ∠АВК=∠СВК=60°.
В прямоугольном треугольнике АВК:

Из прямоугольного треугольника АСС₁: