Задача №194

Все грани параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ - квадраты со стороной a. Через середину AD параллельно плоскоти DA₁B₁ проведена плоскость. Найти периметр сечения.
Через параллельные прямые А₁В₁ и DC проведем плоскость (она определена и единственна). Эта плоскость включает в себя прямые А₁D и В₁D, т.к. концы этих прямых лежат в этой плоскости. Иначе говоря, плоскости DA₁B₁ и А₁В₁DC совпадают.
Через середину AD - точку К в плоскости ADD₁A₁ проведем прямую КМ параллельно DA₁. Причем, точка М поделит АА₁ пополам (параллельные прямые делят стороны угла в одинаковом отношении). Также в плоскости ABCD через точку К проведем прямую КТ параллельно АВ. В плоскости АВВ₁А₁ через точку М проведем прямую МР параллельно АВ. Она пересечет ВВ₁ в середине. Соединим точки Т и Р. ТР параллельна СВ₁, т.к. является средней линией в треугольнике ВСВ₁.
Плоскость КМРТ параллельна плоскости А₁В₁DC по признаку параллельности плоскостей (МК||А₁D и КТ||DC по построению).
Прямоугольные треугольники А₁DА и МКА подобны по острому углу (∠А₁DА=∠МКА как соответственные при параллельных прямых А₁D и МК и секущей AD). Поэтому А₁D:МК=AD:АК=2
А₁D/2=МК. В треугольнике ВВ₁С РТ=В₁С/2 как средняя линия. МР=АВ, КТ=АВ соответственно из прямоугольников АВМР и АВКТ.