Задача №213

Дан треугольник АВС. ВМ - медиана треугольника АВС. Точка Р принадлежит стороне АВ, точка Q принадлежит стороне ВС. Причём эти точки выбраны так, что АP/PB = 2/5, BQ/QC = 6/1. BQ пересекает ВМ в точке К. Найти отношение BK/KM!
Проведем через точку С прямую СН параллельно РQ. Используя теорему о параллельных прямых, пересекающих стороны угла, запишем отношения для угла В:
BP/PH = BK/KE = BQ/QC = 6/1, откуда КЕ=1/6BK, РН=1/6BР
Знаем, что АP/PB = 2/5, откуда АP = 2/5PB, а АВ = АР + РВ = 2/5PB + РВ = 7/5PB или РВ = 5/7АВ, а АР = АВ - РВ = 2/7АВ
РН = 1/6BР = 1/6 * 5/7АВ = 5/42АВ
АН= АР-РН = 2/7АВ - 5/42АВ = 1/6АВ


Проведем через точку М прямую МТ параллельно СН. Используя теорему о параллельных прямых, пересекающих стороны угла, запишем отношения для угла А:
АТ:ТН=АМ:МС=1:1, откуда АТ=ТН, а АН=2ТН или ТН=1/2АН = 1/2 * 1/6АВ=1/12АВ
Для угла АВМ, используя ту же теорему, запишем:
КЕ:ЕМ=РН:ТН=5/42АВ:1/12АВ=10/7
EM=7/10КЕ = 7/10 * 1/6BK=7/60BK
КМ=КЕ+ЕМ=1/6BK+7/60BK=17/60BK
BK/KM=BK:17/60BK=60/17