Задача №216

Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁. AB=2, угол между плоскостью ABC и плоскостью BCF равен 45 градусов. F- середина AA₁. Найти площадь боковой поверхности!
Соединим соответственно точки В и F, С и F, чтобы получить плоскость ВСF.
Раз призма правильная, то её основанием является правильный треугольник сто стороной 2, а боковые ребра перпендикулярны основанию.
Боковое ребро перпендикулярно основанию АВС. Поэтому оно перпендикулярно и АК (по определению перпендикуляра к плоскости). В плоскости основания АВС проведем высоту АК. Теперь соединим точки К и F. KF перпендикулярна ВС по теореме о трех перпендикулярах. Угол АКF является линейным углом двугранного угла между плоскостями АВС и ВСF, поэтому он равен 45°.
Найдем высоту АК в треугльнике АВС:

Из прямоугольного треугольника АКF найдем катет АF, а затем и все ребро АА₁:

Теперь найдем площадь боковой поверхности по формуле площади боковой поверхности правильной призмы:
   ,
где Р - периметр основания АВС, l - боковое ребро.