Сторона AB ромба ABCD равна а, один из углов равен 60 градусов. Через сторону AB проведена плоскость альфа на расстоянии a/2 от точки D.
а) Найти расстояние от точки C до плоскости альфа.
б) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла DABM. M принадлежит альфа.
в) Найдите синус угла между плоскостью ромба и плоскостью альфа.

Решение:

A). Так как расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного на плоскость из этой точки, а прямая DC параллельна линии пересечения ВС плоскостей ромба и ?, и прямая MN параллельна прямой DC, значит   расстояние СN от точки С до плоскости  ? равно расстоянию от точки D до этой плоскости, то есть а/2.
Ответ: расстояние от точки С до плоскости ? равно а/2.
б). Двугранные углы измеряются линейным углом, то есть углом, образованным пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру.
Таким образом, это угол DHM, образованный перпендикулярами DH и МН (так как МН перпендикулярна АВ по теореме о трех перпендикулярах.
в). Этот угол и является углом между плоскостями. Чтобы измерить
двугранный угол, можно взять любую точку на его ребре АВ и перпендикулярно ребру провести из неё лучи в каждую из граней. Поступим так: из точки D проведем перпендикуляр DH к стороне ВС ромба, а из точки Н проведем перпендикуляр в плоскости ?. По теореме о трех перпендикулярах точка М будет лежать на этом перпендикуляре. Имеем прямоугольный треугольник DHM с
катетом DM, равным расстоянию от точки D до плоскости ? и гипотенузой DH, равной высоте ромба.  Синус искомого угла равен Sin(DHM)=DM/DH (отношение противолежащего катета к гипотенузе), где DH - высота ромба.  
Высоту найдем из площади ромба.
Sp=a?Sin60°=a?√3/2.
Sp=a?Sin60°=a?√3/2. Но Sp=a*h.
Отсюда h=DH=Sp/a=a√3/2. DM=a/2 (дано).
Тогда Sin(DHM)=DM/DH=(a/2)/(a√3/2)=1/√3 или √3/3.
Ответ: Sin(DHM)=√3/3.