Задача №31

Основанием прямого параллелепипеда АВСDА₁В₁С₁D₁ является ромб АВСD, сторона которого равна а и угол равен 60 градусов. Плоскость АD₁C₁ составляет с плоскостью основания АВСD угол в 60°. Найти высоту ромба АВСD, высоту и площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Ребра АС и C₁D₁ параллельны, т.к. перпендикулярны одной и той же грани АА₁D₁D. Параллельные линии определяют плоскость, причем тольку одну. Плоскость АВСD₁ и плоскость АD₁С₁ имеют три общие точки, значит они совпадают, т.к. три точки определяют единственную плоскость.

Проведем высоту ВК в ромбе АВСD и из треугольника АВК найдем её:
ВК=АВ * sin60°=a * sin60°
Также проведем высоту DM (высоты ромба равны). Теперь соединим точки М и D₁. МD₁ перпендикулярна ребру АВ по теореме о трех перпендикулярах. Таким образом, угол DМD₁ является линейным углом двугранного угла между плоскостями АВСD и АВС₁D₁. Т.к. параллелепипед прямой, его боковые ребра является его высотами. Из прямоугольного треугольника DМD₁ найдем DD₁:
DD₁=DM * tg60°=a * sin60° * tg60°=3a/2
Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда находится как произведение его высоты и периметра основания:
S_бок=P * h=4a * 3a/2=12a²/2