Около окружности радиуса 3 описана равнобедренная трапеция. Площадь четырехугольника, вершинами которого являются точки касания окружности и трапеции равна 12. Найти площадь трапеции.

Решение:

Сделаем все построения: r= 3 радиус вписанной окружности, S=12 Площадь четырехугольника

В четыреугольнике диагонали d1=2r=6 и d2 пересекаются под прямым углом а

Площадь четырехугольника, вершинами которого являются точки касания окружности S=1/2*d1*d2*sin а =1/2* 6 *d2* sin 90= 3*d2; 12=3*d2; d2=4

В этом 4хугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, и одна из них - диаметр окружности, то есть 6. Площадь такого 4угольника равна половине произведения диагоналей (докажите, это просто). Значит расстояние между точками касания 12*2/6 = 4. А половина - 2. Значит sin(Ф) =2/3. Ф - половина центрального угла хорды, соединяющей точки касания. ОЧЕНЬ ЛЕГКО увидеть, что Ф - угол при большом основании трапеции (просто стороны углов перпендикулярны). А дальше, вычисляете боковую сторону (диаметр делить на sin(Ф)), она равна средней линии (почему? - это следует из свойства описанного 4угольника), умножаете на диаметр, задача решена. Собрав все это получаем (2*r)^2/sin(Ф) = 54.