Задача №65

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 11 см больше другого.
Найдите гипотенузу, если катеты треугольника относятся как 6:5.

Обозначим:
1. АК = х, тогда КВ = х + 11 и АВ = АК + КВ = 2х + 11
2. АС = 5у, тогда ВС = 6у
3. СК = h

Запишем теорему Пифагора для треугольников АВС, АСК и ВСК:
25у² + 36у² = (2х + 11)²
h² + х² = 25у²
h² + (х + 11)² = 36у²
Первое упрощаем:
61у² = 4х² + 44х + 121,
а из третьего вычтем второе:
у² = 2х + 11
Заменим:
61(2х + 11) = 4х² + 44х + 121
122х + 671 = 4х² + 44х + 121
4х² - 78х -550 = 0
2х² - 39х - 275 = 0
Находим корни квадратного уравнения:
х₁ = 25, х₂ < 0
АВ = 2х + 11 = 61