Задача №85

Прямая, параллельная основанию равнобедренного треугольника ABC, пересекает боковые стороны АВ и АС в точках M и N.Докажите, что треугольник AMN равнобедренный.

Теорема. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Значит, ∠АВС = ∠АСВ
Теорема. Внутренние односторонние углы при данных параллельных пямых и секущей в сумме составляют 180^о.
Т.е. ∠АВС + ∠NMB = 180^о и ∠АСВ + ∠MNС = 180^о, следовательно
∠MNС = ∠NMB
Теорема. Сумма смежных углов равна 180^о.
Т.е. ∠АMN + ∠NMB = 180^о и ∠ANM + ∠MNС = 180^о, следовательно
∠АMN = ∠АNM
Теорема.Если в треугольнике два угла равны, то такой треугольник равнобедренный (причем, сторона, к которой прилежат равные углы, есть основание, а две другие равны и называются боковыми).
Значит, треугольник АМN равнобедренный.