Усеченный конус

Теорема 4. Всякое сечение конуса, параллельное его основанию и не проходящее через его вершину, есть круг. Высота конуса проходит через его центр. Доказательство. Высота конуса будет перпендикулярна плокости сечения, т.к. если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Обозначим точку пересечения высоты и плокости сечения за О₁. Тогда МО₁ будет перпендикулярна О₁А₁, О₁В₁ и О₁С₁, а треугольники МО₁А₁, МО₁В₁ и МО₁С₁ являются прямоугольными. Они равны по катету и острому углу (МО₁ - общая, углы при вершине М равны, что следует из равенства треугльников МОА, МОВ и МОС по двум катетам (МО - общая, ОА=ОВ=ОС - радиусы основания)). Поэтому равны соответственные катеты и гипотенузы. Значит, точка О₁ равноудалена от всех точек линии сечения, что определяет её (линию сечения) как окружность, ну а фигура ей ограниченная есть круг. Ч.т.д.
Плоскость сечения разбивает конус на два тело. Верхнее является конусом по определению, а нижнее есть усеченный конус.
Определение 6. Усеченный конус - тело, образованное сечением конуса плокостью, параллельной его основанию и не проходящей через его вершину, заключенное между плокостью основания и плокостью сечения. Формула объема усеченного конуса следует из формула объеа усеченной пирамиды, доказанной здесь. Эта формула, как видно из её вывода, остается верна и для конуса. Если даны радиусы R₁ и R₂ оснований усеченного конуса, то S₁=pR₁², S₂=pR₂², и формула примет вид
Теорема 5. Объем усеченного конуса определяется по формуле

Также выводится и формула площади усеченного конуса, т.к. формула площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды остается верной (вывод не изменится) и для усеченного конуса. Если радиусы оснований R₁ и R₂, а образующая - l, то получаем
Теорема 6. Площадь боковой поверхности усеченного конуса определяется по формуле
S_бок=pl(R₁+R₂)