Задача №101

Точка касания вписанной в прямоугольный треугольник окружности делит катет на отрезки 3 см и 12 см. Найдите периметр треугольника.

Четырехугольник РОМС - квадрат (ОР=ОМ - радиусы; углы ОРС, ОМС и РСМ по 90 градусов). Поэтому РС=МС=3
Прямоугольные треугольники АРО и АТО равны по катету и гипотенузе (АО-общая, ОТ=ОР - радиусы). Поэтому АР=АТ=12.
Таже ситуация с треугольниками ВОТ и ВОМ: ВТ=ВМ, обозначим их за х: ВТ=ВМ=х
Запишем теорему Пифагора для треугольника АВС:
АВ²=АС²+ВС²
(АТ+ТВ)²=(АР+РС)²+(ВМ+МС)²
(12+х)²=(12+3)²+(х+3)²
144 + 24х + х² = 225 + х² + 6х + 9
18х = 90
х = 5
АВ=12+5=17
ВС=3+5=8
Р=АВ+АС+ВС=17+15+8=40