Задача №109

Основанием пирамиды служит равносторонний треугольник со стороной а. Найти объем пирамиды, если: - каждое боковое ребро пирамиды составляет с плоскостью основания угол α;
- каждое боковое ребро составляет с прилежащей стороной основания угол β.

Угол между прямой и плоскостью - угол между этой прямой и её проекцией на эту плоскость. Для нахождения проекций ребер на плоскость АВС проведем высоту пирамиды КО. Соединим точку О с вершинами основания. Высота КО перпендикулярна АО, ВО и СО по определению (перпендикуляра к плоскости). Поэтому треугольники КАО, КВО и КСО прямоугольные. Они равны по острому углу (∠КАО=∠КВО=∠КСО - по данным) и катету (КО - общая). Поэтому ОА=ОВ=ОС. Другими словами точка О является центром описанной около основания окружности, а эти катеты есть её радиусы. Найдем их по теореме синусов:

1. Из прямоугольного треугольника АКО найдем КО
2. Найдем площадь основания по теореме синусов
3. Найдем объем


Рассмотрим второй пункт. Нужно отметить, что угол КАО здесь не известен, мы его просто обозначаем как α. Все решение этого пункта заключается в выражении tgα, через тригонометрическую функцию угла β. Т.к. треугольник в основании правильный, то все заммечательные точки совпадают. Значит, точка О - не только центр описанной окружности, но и, например, точка пересечения медиан (из чего следует, что пирамида правильная) или точка пересечения биссектрис. Поэтому АО делит угол САВ пополам, т.е. по 30 градусов.
Вспомним фopмулу двойного проектирования:

Теперь, подставляя это выражение в ответ первого пункта, получим необходимый результат: