Задача №110

Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 20 см и 36 см, а площадь равна 360см². Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Запишем формулу площади параллелограмма для высоты ВН и стороны AD:
S=ВН*AD
36ВН=360
ВН=10

Запишем формулу площади параллелограмма для высоты ВR и стороны CD:
S=ВR*CD
20ВR=360
ВR=18

Прямоугольные треугольники АРО и OFC равны по гипотенузе и острому углу: АО=ОС (диагонали точкой пересечения делятся попалам), углы ОАР и ОСF равны (накрест лежащие при параллельных прямых AD и ВС и секущей АС).
Это означает, что OP=OF=1/2PF=1/2BH=5
Также и для треугольников ОТВ и ОМD: ОТ=ОМ=1/2TM=1/2BR=9
Соединим точки М и К (рис а). Прямая МК перпендикулярна СD по теореме о трех перпендикулярах.
Из прямоугольного треугольника КОМ определим КМ по теореме Пифагора: КМ=15
Также соединим точки Р и К (рис а). Прямая РК перпендикулярна АD по теореме о трех перпендикулярах.
Из прямоугольного треугольника КОР определим КР по теореме Пифагора: КР=13
Противоположные боковые грани пирамиды равны (по трем сторонам: у параллелограмма противоположные стороны равны, все боковые ребра данной пирамиды равны), а значит равны и их площади. Поэтому формулу площади боковой поверхности запишем так:
S_бок=2S_AKD+2S_CKD
S_бок=2*1/2*AD*KP+2*1/2*DC*KM
S_бок=36*13+20*15=768