Задача №211

Дан треугольник АВС. АВ = 8, ВС = 4, АС = 6. Найти площадь треугольника АВС, а также радиус вписанной, радиус описанной окружностей, высоту, проведённую из угла В, медиану и биссектрису, проведённые также из угла В.
Для нахождения площади применим формулу площади через половину произведения высоты и стороны:

Найдем медиану. Обозначим длины сторон, лежащих против вершин А,В и С, соответственно a, b, c.
Пусть BM - медиана треугольника АВС. Обозначим BМ=m, ∠BМА=α, тогда ∠СМВ=180^о - α
Из треугольников АBМ и СМВ по теореме косинусов будем иметь:

Складывая почленно два этих равенства и учитывая, что cos(180° - α)=-cosα, получаем:

Найдем биссектрису ВК. Обозначим BК=l, ∠АВК=β. Учитывая, что биссектриса делит угол пополам: ∠СВК=∠АВК=β, а ∠АВС = ∠СВК+∠АВК=2β. Воспользуемся таким свойством: биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам (доказательство):

Применим в треугольниках АВК и СВК теорему косинусов:

Используя теорему косинусов в треугольнике АВС, найдем cosβ: