Задача №217

Диагональным сечением прямоугольного параллелепипеда, вписанного в шар, является квадрат площадью S. Найдите объём шара!
Нас интересует только диагональное сечение. Т.к. это прямоугольный параллелепипед, то диагональные сечения равны. Рассмотрим, например, АА₁С₁С.
Любое сечение шара плоскостью есть круг, поэтому в сечении получаем квадрат АА₁С₁С вписанный в круг.


Проведем диагональ квадрата А₁С. Прямой угол, вписанный в окружность, опирается на диаметр, поэтому гипотенуза А₁С прямоугольного треугольника АА₁С есть диаметр круга-сечения, а следовательно и самого шара.
Произведем следующие действия:
1. Выразим сторону квадрата а через его известную площадь S;
2. Найдем диаметр круга-сечения по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АА₁С;
3. Найдем радиус как половину диаметра;
4. Найдем объем шара.