Задача №231

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ Найти угол между прямыми CD₁ и AB₁
Прямые CD₁ и AB₁ являются скрещивающимися по определению. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя прямыми, параллельными им и проходящими через произвольную точку.
За произвольную точку примем точку О. Одна из крещивающихся прямых уже проходит через неё. Осталось сделать параллельный перенос прямой CD₁.
Ребра А₁D₁ и ВС параллельны (прямые перпендикулярные одной и той же плоскости параллельны), поэтому они определяют плоскость, причем только одну. Вспомним теорему: если две параллельные плоскости пересекаются третей, то прямые пересечения параллельны. Так, плоскость А₁ВСD₁ пересекает параллельные плоскости АА₁В₁В и СС₁D₁D по прямым А₁В и CD₁, поэтому эти прямые параллельны.
Угол между прямыми А₁В и АВ₁ и есть искомый угол. Все грани куба квадраты. Знаем, что диагонали квадрата (как частного случая ромба) перпендикулярны. Т.е. искомый угол равен 90°.