Задача №245

Квадрат и ромб, не являющийся квадратом, имеют одинаковые периметры. Найдите острый угол ромба, если площадь его равна половине площади квадрата.
1. Для решения этой задачи нам необходимо будет вспомнить теорему 44 из темы Квадрат. Запишем их соответственно:
S_ABCD=AB² (1)
S_KLMN=KL² * sinβ (2)

2. Что же означает тот факт, что периметры этих четырехугольников равны? А примерно следующее:
Р_ABCD=Р_KLMN
4АВ=4KL
АВ=KL (3), т.е. стороны этих плоских фигур равны.

3. Запишем данное нам отношение между площадьми ромба и квадрата:
S_ABCD=2S_KLMN
Воспользуемся выражениями (1) и (2)
AB²=2KL² * sinβ
А теперь выражением (3) с пометкой на то, что квадраты равных чисел равны
AB²=2AB² * sinβ
Поделим это выражение на 2AB², получим:
sinβ=1/2
Рb=arcsin(1/2)
Т.к. нам требуется найти острый угол ромба, то принимаем β=30°.