Квадрат

Определение 17. Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны. Так как стороны квадрата равны, то он является также ромбом. Поэтому квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба. Просто перечислим их:
Свойство 1 У квадрата (как прямоугольника) все углы прямые
Свойство 2 Диагонали квадрата (как прямоугольника) равны
Свойство 3 Диагонали квадрата (как прямоугольника) точкой пересечения делятся пополам.
Свойство 4 Диагонали квадрата (как ромба) пересекаются под прямым углом.
Свойство 5 Диагонали квадрата (как ромба) являются биссектрисами его углов.
Диагональ квадрата больше его стороны в корень из двух раз


Теорема 44. Площадь квадрата равна квадрату стороны или половине квадрата его диагонали

Центр вписанной и описанной окружностей лежит на пересечении диагоналей квадрата, т.к. точка пересечения одинаково удалена как от сторон, так и отвершин.
Радиус описанной окружности равен половине диагонали (диаметр=диагонали). Радис вписанной окружности - половине стороны квадрата (диаметр=стороне). Эти утверждения не требуют особо сложного доказательства.

Теорема 45. (I признак квадрата) Если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, этот прямоугольник - квадрат.

Теорема 46. (II признак квадрата) Если один из углов ромба прямой, этот ромб - квадрат.