Задача №74

В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит равнобедренная трапеция с основаниями BC и AD, причем AB=3см, AD=5см. Диагональ призмы B₁D образует с плоскостью основания угол 45 градусов, а плоскости AA₁B₁ и B₁BD перпендикулярны. Найдите объем призмы!

1.
а) Рассмотрим основание АВСD: В следствии того, что плоскости AA₁B₁ и B₁BD перпендикулярны, получаем угол АBD равен 90 градусов. То есть треугольник АВD - прямоугольный. В нем нам известны катет и гипотенуза. Найдем второй катет:

б) Теперь в треугольнике АВD проведем высоту ВН. Прямоугольные треугольники АВН и АВD подобны по острому углу (подробнее о подобии треугольников). Запишем равные соотношения и получим неизвестные величины:

Так как трапеция равнобедренная, её основание ВС можно определить следующим образом:
ВС = AD - 2АН = 5 - 18/5 = 7/5
в) По известным основаниям и высоте определим площадь трапеции:


2.
а) Рассмотрим прямоугольный треугольник BDB₁: в нем угол BDB₁ равен 45 градусов как угол между диагональю B₁D и плоскостью основания АВСD.
Теорема. Если один из острых углов прямоугольного треугольника равен 45 градусов, то его катеты равны (этот пр. треугольник - равнобедренный).
Значит, В₁В = ВD = 4. Заметим, что В₁В является высотой призмы.
б) По имеющимся площади основания и высоте определяем объем: