Задача №81

Сторона равностороннего треугольника АВС равна 12см. Точка К находится на равном расстоянии от его вершин и удалена от плоскости треугольника на 4см. Найти: длину проекции отрезка КА на плоскость треугольника. Расстояние от К до вершины треугольника.

Прямоугольные треугольники КОА, КОВ и КОС равны по катету и гипотенузе (КО - общая, КА = КВ = КС по данным). Значит, ОА = ОВ = ОС. То есть точка О равноудалена от вершин треугольника АВС или является центром описанной около треугольника АВС окружности.
Проекция отрезка КА на плоскость треугольника есть КО - радиус описанной около треугольника окружности. Воспользуемся теоремой синусов для радиуса описанной окружности: