Задача №210

Основанием пирамиды DABC является треугольник АВС со сторонами AC=13см, AB=15см, CB=14см. Боковое ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 9см.
а) Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
б) Докажите, что основание перпендикуляра, проведенного из вершины A к плоскости грани BDC, лежит на высоте этой грани, и найдите длину этого перпендикуляра.

В плоскости основания АВС проведем высоту АК. Соединим точки К и D. DК перпендикулярна ВС по прямой теореме о трех перпендикулярах. Т.е. DK является высотой треугольника DBC или, цитируя условия задачи, высота грани BDC.
Через АК и DК проведем плоскость (пересекающиеся плоскости определяют плоскость, причем только одну). Получается, что прямая BC перпендикулярна двум прямым плоскости DКА: АК (по построению) и DК (по доказанному). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что АН перпендикулярна плоскости DВС, т.е. является перпендикуляром, проведенным из вершины А к плоскости грани BDC, основание которого точка Н лежит на DA - высоте этой грани, ч.т.д

Найдем площадь основания АВС по формуле Герона а затем высоту его АК:

Ребро AD перпендикулярно плоскости основания АВС. По определению прямая перпендикулярная плоскости перпендикулярна любой прямой этой плоскости. Т.е. прямая AD перпендикуляна АС, АВ и АК, т.е. треугольники АСD, ABD и AKD являются прямоугольными. По теореме Пифагора в треугольнике АКD найдем DK, а затем площади остальных трех граней и площадь полной поверхности пирамиды: