Теорема синусов. Формула Герона.

Рассмотрим треугольник АВС с высотой СН = h, опущенной из вершины С. Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание S=1/2ch. Высоту можно выразить из прямоугольного треугольника АНС как h = bsina в случае острого угла a или как h = bsin(p-a) в случае тупого угла a.

В силу равенства sin(p-a) = sina в обоих случаях имеем h = bsina. Формула для площади треугольника примет вид Теорема 33. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними.
Записав эту формулу и для других сторон, мы увидим, что вы из них вытекают следующие пропорции
(2)
выражающие следующую теорему.
Теорема 34. Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Причем, последнее равенство взято (доказ.) в теме описанная около треугольника окружность из теорем 40 и d6
Выведем теперь формулу Герона, дающую выражение площади треугольника через длины его сторон. Для этого из формулы теоремы косинусов выразим cosα, а из теоремы синусов sinα:

(3)

(4)

Вспомним главное тригонометрическое тождество. Возводя оба последних равенства в квадрат и складывая их почленно, получаем

И окончательно получаем
Теорема 35. Формула Герона. Площадь треугольника можно вычислить по следующей формуле:
(5)
Отсюда получаются также формулы для высот треугольника:
(6)
Достаточно, конечно, знать на память формулу Герона, так как выражения для высот получаются из неё немедленно.