Задача №63

Квадрат вписан в ромб. Сторона квадрата параллельна диагонали ромба. Сторона ромба 6 см, угол 30 градусов.
Найти площадь квадрата.

Теорема. Диагонали ромба перпендикулярны. Оспользуя эту теорему и факт того, что сторона квадрата параллельна диагонали ромба, получим:
Отрезки КМ DВ и ТР параллельны между собой
Отрезки КТ АС и МР параллельны между собой
Отрезок АС перпендикулярен отрезкам КМ DВ и ТР
Отрезок DB перпендикулярен отрезкам КТ АС и МР
Треугольник КСМ равнобедренный (подобен треугольнику ВСD, который равнобедренный по данным)
Теорема. Высота равнобедренного треугольника, проведенная из вершины на основание, является также и медианой основания.
Значит КН = НМ = 1/2KM = 1/2KT (последнее равенство выполняется из-за равенства сторон квадрата)
Аналогично из треугольника ТВК: КУ = УТ = 1/2KT = 1/2KM (последнее равенство выполняется из-за равенства сторон квадрата).
Следовательно КУ = КН.
Теорема. Если в прямоугольнике две смежные стороны равны, то такой прямоугольник является квадратом.
Значит, прямоугольник КНОУ - квадрат.
Надо заметить, что ОН = КУ = 1/2КТ
Обозначим половину стороны квадрата за х (КН = НМ = КУ = УТ = ОН = х)
Из треугольника АВС определим сторону АС (и её половину) по теореме косинусов:

И теперь по теореме Пифагора из треугольника ОВС найдем ОВ:

Надо заметить, что СН = СО - ОН
Прямоугольные треугольники ВОС и КНС подобны по острому углу (угол ВСО). Запишем равные соотношения:

Помним, что х - это половина стороны, тогда площадь квадрата равна: