Задача №157

Основанием прямого параллелипипеда служит ромб АBCD. Сторона ромба равна а, один из его углов - альфа. Боковое ребро параллелипипеда равно а. Вычислите длины диагоналей параллелипипеда и расстояние между его ребрами ВС и АD.
Для нахождения диагоналей параллелипипеда найдем диагонали основания.

Треугольник ABD - равнобедренный (АВ=АD - стороны ромба), поэтому ∠ABD=∠ADB=(180°-α)/2=90°-α/2
Применим теорему синусов:

Рассмотрим треугольник АВС. По четвертому свойству (св-во диагоналей) ромба ∠ВАС=∠ВСА=α/2
Применим теорему синусов:

Теперь соответственно из треугольников АС₁С и DВ₁В по теореме Пифагора:

Для нахождения расстояния между ребрами ВС и АD (высота основания) расмотрим треугольник АВD и его высоту. Получим: h=asinα