Задача №212

Дан треугольник АВС. АВ = 26, ВС = 24, АС = 10. Найти высоту, проведённую из угла С, тангенс половины угла А и расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.
Пусть О₁ - центр вписанной окружности, О - центр вписанной. Продлим биссектрису СС₂ до пересечения описанной окружностью в точке Е. Проведем диаметр EF и хорды ВЕ и BF. Угол ЕВF прямой т.к. опирается на диеметр ЕF.
Если теперь опустить перпендикуляр О₁Н на сторону АС треугольника, то треугольникик О₁НС и ВЕF будут подобны по двум углам (∠О₁НС = ∠ВЕF = 90°; ∠АСЕ = ∠ВСЕ = ∠ЕВF - первое равенство следует из построения, второе - из теоремы о вписанных углах), откуда ВЕ:FЕ=О₁Н:О₁С. Обозначим радиус вписанной окружности за r, а вписанной за R, тогда EF как диаметр равен 2R и FE * О₁Н = 2Rr = ВЕ * О₁С
Нужно отметить, что ВО₁ является биссектрисой, т.к. соединяет вершину и центр вписанной окружности (центр вписанной окружности есть точка пересечения биссектрис треугольника). Треугольник ВЕО₁ равнобедренный, т.к. ∠ВО₁Е как внешний к треугольнику ВО₁С, и ∠О₁ВЕ как сумма ∠О₁ВА и ∠АВЕ=∠АСЕ (опираются на равные дуги), равны 1/2(∠АСВ+∠СВА).
Таким образом, ВЕ=О₁Е и, значит, 2Rr = ВЕ * О₁С = О₁Е * О₁С. Обозначим расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей за d. Проведя через точки О и О₁ диаметр КL и, используя свойство пересекающихся хорд окружности, получим:
2Rr = О₁Е * О₁С = О₁К * О₁L = (R - d)(R + d) = R² - d², откуда:
d² = R² - 2Rr (3)

Найдем площадь треугольника с помощью треугольник:

Применим теорему косинусов для нахождения косинуса угла А и формулы половинного угла и основное тождество для нохождения тангенса: